DETERMINACION DE MAXIMOS Y MINIMOS

 MAXIMOS Y MINIMOS 

En la clase pasada vimos lo que son los máximos y mínimos , para calcular los máximos y los mínimos se tiene que hacer en 4 pasos que son derivar la función, igualar a cero, obtener valores de determinar intervalo. esta clase se me hizo muy interesante por que ya nos enfocamos mas en las graficas.

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes y más pequeños que puede tomar la función, y son útiles para graficar una ecuación o resolver problemas de optimización. Para encontrar los máximos y mínimos de una función, se puede usar cálculo diferencial para determinar los puntos en los que la función cambia de dirección. También se puede usar el criterio de la segunda derivada, que indica que si la segunda derivada es negativa, el punto crítico es un máximo, y si es positiva, es un mínimo. 

A continuación se utilizará el método de la segunda derivada.
1ER PASO
Se saca la derivada de la función:
f'(x)= 3x^2 - 6x - 9
Y luego se iguala a 0 para convertirla a una ecuación la cuál se puede dividir.
3x^2 - 6x - 9 = 0
Se ^puede dividir entre 3 y queda:
x^2 - 2x - 3= 0
Se factoriza:
(x - 3)(x+ 1) = 0
x-3 = 0  ;  x + 1=0
x= 3  ;  x= -1
Estos son los valores para x de los máximos y mínimos, pero ahora toca saber cuál es cual.
2DO PASO
Se saca una segunda derivada y queda así:
f''(x) = 6x - 6
y se evalúan con las dos x que despejamos.
f''(-1) = 6(-1) - 6= - 12. Como el resultado es menor que 0, el valor evaluado representa un máximo. 
f''(3)= 6(3) - 6= + 12 . Como el resultado es mayor que 0, el valor evaluado representa un mínimo.
Ahora, con los valores de x despejados,  se evalúa en la función original para sacar el valor de y del máximo y del mínimo:
f(-1)= (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1= -1 -3 + 9 + 1= 6
f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1= 27 -27 - 27 +1= -26
Con esto ya sabemos las coordenadas para los valores máximos y mínimos de la función.
V. Máx.: (-1 , 6)  V. Mín.:(3 , - 26)

PASO 3
A se saca el punto de inflexión para saber donde cambia la curvatura entre los puntos máximos y mínimos.
La segunda derivada se iguala a cero para sacar el valor que queremos al despejar la x.
6x - 6 = 0
6x= 6
x=6/6
x= 1
Luego se sustituye este valor en la función original para sacar el valor de y.
f(1)= (1)^3  -3(1)^2 - 9(1) +1
f(1)= 1 -3 -9 +1  = - 10
Y aquí la tenemos, la coordenada del punto de inflexión es (1, - 10).
En este punto la derivada atraviesa la función.
Los INTERVALOS DECRECIENTES Y CRECIENTES de la función se puede denotar al ver la gráfica, (estos valores son tomados del eje X):
En este ejemplo el primero intervalo es creciente ya que se dirige al punto máximo de la función y  va desde (- infinito) hasta ( -1). Luego decrece hasta el punto mínimo de la función y su intervalo es (-1 , 3). Al final vuelve a incrementar y este es el ultimo intervalo que es creciente siendo sus valores (3, infinito).
1º INTERVALO CRECIENTE   (- infinito, -1)
INTERVALO DECRECIENTE  (-1, 3)
2º INTERVALO CRECIENTE  (3, infinito) 
Al ver la gráfica hecha podemos observar los INTERVALOS DE CONCAVIDAD que no son sino el dominio donde la gráfica tiene concavidad hacia abajo o hacia arriba. Estos dos intervalos, o más dependiendo de la función, se separan por el punto de inflexión. 
En la gráfica anterior se puede ver que la primera concavidad es hacia abajo y va desde (- infinito) hasta 1, y la segunda concavidad que es hacia arriba va desde 1 hasta infinito:
CONCAVIDAD HACIA ABAJO   (-infinito, 1) 
CONCAVIDAD HACIA ARRIBA   (1 , infinito) 



REFERENCIAS:
https://www.youtube.com/watch?v=2YCea06t_Qc&t=4s
https://www.youtube.com/watch?v=ppI4NKTScxw

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Imagen
 definición de la derivada Buenos días profesor, en la clase pasada nos enseño sobre las formulas de las derivadas y de que el resultado de un limite, representa la pendiente de la recta tangente a la grafica en un punto especifico, esta vez se me complico un poco por que la vez que nos enseño un poco de este tema , yo no pude asistir a clases por ese motivo este tema se me hizo un poco enredoso  conocimiento consultado La derivada de una función en un punto  x x  indica qué tanto está cambiando la función en ese punto; así, por ejemplo, si la función indica la posición de un móvil en una carretera recta, la derivada indica la velocidad del móvil, es decir, expresa cómo está cambiando la posición en ese momento. Geométricamente, si representamos a la función  f f  mediante su gráfica en un plano, su derivada en un punto  x x  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto  ( x , f ( x ) ) ( x , f ( x ) ) , y ésta indica qué tan...
Leer más

INTEGRACION POR PARTES

Imagen
En esta clase vimos lo de como integrar por partes con la técnica de ilate, esto sirve para identificar cual es u y cual es v dependiendo cual letra sea primero , por ejemplo si en el problema viene una trigonométrica y una algebraica , la u seria la algebraica por que la letra a esta primero que la t, todo esto se basa en las letras de ilate ¿Qué es la regla ILATE (LIATE)? La regla ILATE  es la regla más común en el proceso de integración por partes y facilita enormemente la selección de la primera y la segunda función. La fórmula de integración por partes se puede escribir de dos maneras: ∫ u dv = uv - ∫ v du. ∫ (primera función) (segunda función) dx = primera función ∫ (segunda función) dx - ∫ [ d/dx (primera función) ∫ (segunda función dx) ] dx En esta fórmula, usamos los términos "primero" y "segundo". Esto significa que el orden de las funciones en el producto dado es definitivamente importante. Normalmente, la primera función (u) se seleccionará de tal manera...
Leer más
Imagen
CONTINUDAD DE UNA FUNCION. El sábado pasado que hablo sobre el tema de continuidad de funcion no pude asistir, pero mis compañeros me comentaron de lo que el profe explico, me pasaron apuntes y a lo que investigue, es entender la forma de una gráfica de una función y a esta le vamos encontrar el valor de Y. También identificaremos si el resultado de la función será continua o descontinua En matemáticas, la continuidad de una función es una propiedad fundamental que describe cómo se comporta la función en relación con los valores cercanos de su dominio. Así, una función se considera continua si no presenta saltos, puntos indefinidos o discontinuidades en su gráfica. Más formalmente, una función f(x) se dice continua en un punto “a” si se cumplen tres condiciones: El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” existe, es decir, los limites laterales en el punto “a” coinciden. El valor de f(a) está definido. El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es igual a f(a). Simplificando, una fu...
Leer más