DIARIO #2, METODO DE DISCOS Y ARANDELAS

 En la clase pasada vimos como sacar el volumen de un solido en movimiento con una función nueva , estos son métodos de discos y arandelas, este tema se me a dificultado mucho como todo el cuatri, pero se que echándole ganas puedo sacar la materia adelante

Introducción

En la entrada anterior vimos como calcular la longitud de arco de una curva. Otra aplicación de las integrales es calcular el volumen de sólidos de revolución, por lo que en esta entrada se aprenderá a calcular el volumen de un sólido S mediante secciones transversales o también llamado el método de los discos, además, veremos el método de las arandelas o también llamado el método de los anillos.

Superficies de revolución

Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.

Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.

Figura 1: Rectángulo (Figura de la izquierda) y el cilindro de revolución (figura de la derecha).

En la figura (1) tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje x obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.

En la siguiente figura (2) tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje y lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.

Figura 2: Triangulo iscóceles (figura de la izquierda) y pirámide (figura de la derecha).

A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.

Método de los discos

Supongamos que tenemos una función f(x) en un intervalo [a,b] y que cortamos una «rebanada» con un ancho Δx de la función f(x) como se muestra en la figura (3).

Figura 3: Aproximación con un polígono regular a f(x).

Al hacer girar esta función alrededor del eje x obtendremos una superficie de revolución (figura (4)), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio r y ancho Δx.

Figura 4: Superficie de revolución

Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» n veces y sumamos estos pedazos, es decir:

Volumen de la superficie de revolución ≈∑i=1n volúmenes de los cilindros




Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Imagen
 definición de la derivada Buenos días profesor, en la clase pasada nos enseño sobre las formulas de las derivadas y de que el resultado de un limite, representa la pendiente de la recta tangente a la grafica en un punto especifico, esta vez se me complico un poco por que la vez que nos enseño un poco de este tema , yo no pude asistir a clases por ese motivo este tema se me hizo un poco enredoso  conocimiento consultado La derivada de una función en un punto  x x  indica qué tanto está cambiando la función en ese punto; así, por ejemplo, si la función indica la posición de un móvil en una carretera recta, la derivada indica la velocidad del móvil, es decir, expresa cómo está cambiando la posición en ese momento. Geométricamente, si representamos a la función  f f  mediante su gráfica en un plano, su derivada en un punto  x x  es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto  ( x , f ( x ) ) ( x , f ( x ) ) , y ésta indica qué tan...
Leer más

INTEGRACION POR PARTES

Imagen
En esta clase vimos lo de como integrar por partes con la técnica de ilate, esto sirve para identificar cual es u y cual es v dependiendo cual letra sea primero , por ejemplo si en el problema viene una trigonométrica y una algebraica , la u seria la algebraica por que la letra a esta primero que la t, todo esto se basa en las letras de ilate ¿Qué es la regla ILATE (LIATE)? La regla ILATE  es la regla más común en el proceso de integración por partes y facilita enormemente la selección de la primera y la segunda función. La fórmula de integración por partes se puede escribir de dos maneras: ∫ u dv = uv - ∫ v du. ∫ (primera función) (segunda función) dx = primera función ∫ (segunda función) dx - ∫ [ d/dx (primera función) ∫ (segunda función dx) ] dx En esta fórmula, usamos los términos "primero" y "segundo". Esto significa que el orden de las funciones en el producto dado es definitivamente importante. Normalmente, la primera función (u) se seleccionará de tal manera...
Leer más
Imagen
CONTINUDAD DE UNA FUNCION. El sábado pasado que hablo sobre el tema de continuidad de funcion no pude asistir, pero mis compañeros me comentaron de lo que el profe explico, me pasaron apuntes y a lo que investigue, es entender la forma de una gráfica de una función y a esta le vamos encontrar el valor de Y. También identificaremos si el resultado de la función será continua o descontinua En matemáticas, la continuidad de una función es una propiedad fundamental que describe cómo se comporta la función en relación con los valores cercanos de su dominio. Así, una función se considera continua si no presenta saltos, puntos indefinidos o discontinuidades en su gráfica. Más formalmente, una función f(x) se dice continua en un punto “a” si se cumplen tres condiciones: El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” existe, es decir, los limites laterales en el punto “a” coinciden. El valor de f(a) está definido. El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es igual a f(a). Simplificando, una fu...
Leer más